Дорогие друзья!
Сегодня, 30 ноября 2009 года, в день рождения Сани Миленкович, когда ей исполнилось бы 26 лет, мы открываем наш «Математический журнал» на сайте её памяти и объявляем в память о ней наш первый математический конкурс. Приглашаем участвовать в этом конкурсе учащихся девятых классов общеобразовательных школ России.
Конкурсное задание состоит из 10 задач повышенной трудности, охватывающих всю изучаемую в неполной средней школе математику и доступных способным школьникам девятых классов. Для участия в конкурсе необходимо в срок до 31 января 2010 года включительно зарегистрироваться на сайте памяти Сани Миленкович и послать в Математический журнал сайта (в категорию "Решения задач") сообщение с решениями одной или нескольких (не обязательно всех) задач конкурса. Для регистрации на сайте нужно зайти на сайт и нажать мышью на слове «Регистрация» в окне «Форма входа», после чего заполнить анкету и выполнить действия, требуемые компьютером.
Присланные решения будут проверены администратором сайта. Неверные решения будут сразу удалены. Система сайта автоматически удаляет пользователей, не оставивших на сайте никаких сообщений (сообщения в гостевой книге при этом не учитываются), поэтому регистрироваться на сайте нужно тогда, когда у Вас уже есть готовое для отправки на сайт сообщение с решениями задач, в правильности которых Вы уверены, а после регистрации нужно сразу же отправить это сообщение на сайт.
В течение срока конкурса каждый его участник, зарегистрированный на сайте, может послать несколько сообщений с решениями. Для этого повторной регистрации не требуется, а нужно ввести свой e-mail адрес и пароль в окне «Форма входа» и нажать мышью «Вход». Но если участник пришлёт повторное решение какой-либо задачи, то прежнее его решение этой задачи будет удалено.
Посылая сообщение с решениями, обязательно укажите номера решаемых задач, а также полностью свои фамилию, имя и отчество, фамилию, имя и отчество Вашего преподавателя математики, полное наименование и местонахождение учебного заведения и класс, в котором Вы учитесь.
По окончании срока конкурса администратором сайта из присланных решений будут отобраны лучшие решения каждой задачи, и эти решения будут опубликованы на страницах нашего «Математического журнала», а их авторы будут отмечены на сайте виртуальными наградами.
Наш конкурс не является официальным, его результаты нигде не будут учитываться. Мы также не в состоянии награждать победителей конкурса реальными призами. Однако участие в этом конкурсе позволит школьникам приобрести новые математические знания, умения и навыки в решении сложных задач, что, несомненно, будет полезно им в дальнейшем. Поэтому мы настоятельно рекомендуем школьникам, увлечённым математикой, принять участие в нашем конкурсе.

Советуем также внимательно прочитать помещённые ниже предупреждения.

Предупреждение первое. Не обращайте внимания на рекламу и ни в коем случае не вызывайте её. Чтобы она не мешала при работе, нужно удалять (закрывать) её сразу, а если есть возможность, то лучше вообще от неё избавиться, установив на своём компьютере программы для блокировки рекламных баннеров и всплывающих окон.

Речь пойдёт о так называемых «филантропах» типа Джорджа Сороса и ему подобных «благодетелях» (Крайбл, Карнеги и прочие), которые якобы из человеколюбия (а на самом деле чтобы не попасть за решётку за свои прегрешения перед законом) оказывают спонсорскую помощь талантливым школьникам и студентам из бедных стран мира (в грабеже которых эти «благодетели» сами активно участвуют), чтобы заманить их в США и другие богатые страны для эксплуатации в дальнейшем их труда. Не верьте их лживым словам о «человеколюбии» и сладким обещаниям райской жизни в Америке, Англии или Израиле и не клюйте на их приманки! Всё это может обернуться кабалой и разорением для Вас или для Ваших детей и внуков!
Кто такой Джордж Сорос? Он родился в 1930 году в Венгрии в богатой еврейской купеческой семье, члены которой носили фамилию Шварц. В 1944 году, скрываясь от преследований гестаповцев, они сменили фамилию Шварц на Сорос. После освобождения Венгрии советскими войсками от фашистской оккупации и окончания Второй Мировой войны они в 1947 году эмигрировали из разорённой войной Венгрии в сытую Великобританию, где Джордж получил высшее экономическое образование, после чего он в 1956 году эмигрировал в США, где занялся торгово-посредническим бизнесом и финансовыми махинациями, посредством которых сколотил крупный капитал и открыл свой собственный банк. Не завод и не фабрику, а именно банк, то есть стал банкиром, а не промышленным капиталистом.
Если промышленный капиталист, наживаясь за счёт эксплуатации труда своих наёмных рабочих, всё же приносит пользу обществу производством нужных людям товаров, то банкир вообще ничего не производит, а наживается чистым грабежом – выколачиванием долгов и процентов (порой превосходящих долг в несколько раз) из своих должников. Поэтому именно банкиры более, чем кто бы то ни было, заинтересованы в развязывании войн, чтобы иметь возможность наживаться за счёт грабежа не только своих, но и чужих стран и народов.
Своим грабежом банкиры душат производителей, поэтому в странах типа Великобритании и США, где ещё в начале 20-го века установилось господство банкиров, производство не может нормально развиваться, а промышленные капиталисты этих стран вынуждены создавать свои новые предприятия не у себя на Родине, а в тех странах, где рабочая сила дешевле (например, в Китае и других странах «третьего мира»). И только в случае отсутствия в других странах рабочей силы нужной квалификации новые предприятия создаются в США, Великобритании, Израиле и подобных им странах с господством банкиров. В этих случаях создание новых предприятий, как правило, требует больших вложений капитала, и промышленные капиталисты вынуждены обращаться за кредитами к банкирам, которые дают эти кредиты с большой неохотой и под большие проценты. Этим объясняется то, что высокотехнологичные и наукоёмкие предприятия современного капиталистического мира расположены в основном в странах с господством банкиров, а сырьевые и обрабатывающие предприятия – в странах «третьего мира» с дешёвой рабочей силой. И банкиры кровно заинтересованы в сохранении и увековечении такого неравномерного международного разделения труда, тормозящего развитие стран «третьего мира» и грабящего народы этих стран, но зато приносящего баснословные барыши банкирам. Именно поэтому они развязывают войны и идут на всякие преступления ради сохранения этого несправедливого мирового порядка.
Поэтому не случайно В.И. Ленин в своей работе «Империализм как высшая стадия капитализма», опубликованной в 1914 году (вскоре после начала Первой Мировой войны), назвал финансовый капитализм, установившийся в начале 20-го века в Великобритании и США, паразитическим и загнивающим капитализмом.
Господство банкиров душит не только производство, но также в ещё большей степени образование и науку. Банкиры никогда не пойдут на создание в своих странах всеобщей системы бесплатного и доступного всем гражданам качественного среднего и высшего образования, как в СССР и других странах социализма, так как это требует больших финансовых затрат и не приносит быстрой прибыли. Вместо этого они будут давать желающим учиться образовательные кредиты под большие проценты, чтобы иметь возможность в будущем эксплуатировать и грабить этих молодых людей и их детей и внуков. Именно поэтому США и Великобритания нуждаются в постоянном притоке учёных и других высококвалифицированных специалистов из-за рубежа. Чтобы обеспечить себе этот приток, они спровоцировали развал СССР и стран социализма в Восточной Европе, что привело к кровавым вооружённым конфликтам и войнам в этих странах и вызвало массовый поток беженцев и мигрантов из этих стран в Америку и Западную Европу.
Поэтому я ещё раз обращаюсь к молодым людям, вступающим в жизнь, и их родителям, и призываю крепко подумать, прежде чем решать, стоит ли вообще связываться с банкирами и «благодетелями» типа Джорджа Сороса и ему подобными. Бандиты – они и есть бандиты, какие бы маски они ни надевали.

1. В конечном ряду натуральных чисел первое число обозначает количество нулей в ряду (нуль считается натуральным числом), второе – количество единиц, третье – количество двоек и так далее. Найти (описать) все такие ряды.

2. Квадратная доска разбита на квадратные клетки, которые произвольным образом раскрашены в чёрный и белый цвета. Доказать, что при любой такой раскраске всегда возможно одно и только одно из двух: либо король может пройти по белым клеткам от нижней горизонтали до верхней, либо ладья по чёрным от левой вертикали до правой. Король и ладья ходят как в шахматах, при этом ладья одним ходом может переходить только на соседнюю (через сторону) клетку.

3. Когда крестьянка раскладывала яйца по 2, по 3, по 4, по 5 и по 6, у неё каждый раз одно яйцо оставалось лишним, а когда разложила их по 7, остатка не было. Сколько у крестьянки было яиц, если их было не более 420?

4. Три рыбака наловили рыбы и легли спать. Проснулся первый рыбак, разделил улов на три равные части, бросил лишнюю рыбу в реку, взял треть улова и ушёл. Проснулся второй рыбак, проделал то же самое с остатком улова и ушёл. Потом то же самое проделал третий рыбак с оставшейся частью улова. Сколько рыб поймали рыбаки, если они поймали не более 30 рыб?

5. Найти все прямоугольники, у которых длины сторон – целые числа, а периметр и площадь равны.

6. При каких целых n и на какие множители сократима дробь (n²+1)/(2n+3) ?

7. В треугольнике ABC величина угла B равна 120 градусам. Биссектрисы углов A, B, C пересекают противоположные стороны соответственно в точках K, L, M. Доказать, что угол KLM прямой.

8. Доказать, что стороны и высоты данного произвольного непрямоугольного треугольника являются биссектрисами внешних и внутренних углов треугольника, образованного основаниями высот исходного треугольника. Рассмотреть отдельно случаи остроугольного и тупоугольного исходного треугольника.

9. Доказать, что у произвольного треугольника точка пересечения медиан, точка пересечения высот и центр описанной окружности лежат на одной прямой (прямая Эйлера). Найти порядок расположения этих точек на этой прямой и соотношение длин отрезков с концами в этих точках.

10. Доказать, что у произвольного треугольника середины сторон, основания высот и середины отрезков высот, соединяющих точку их пересечения с вершинами треугольника, лежат на одной окружности (окружность девяти точек). Где лежит (указать точно) центр этой окружности и чему равен (выразить через радиус описанной окружности) её радиус?